Cálculo del Área como límite

Generalizando el proceso realizado anteriormente se puede generalizar de la siguiente manera:

Si consideramos una región plana acotada por la grafica de una función y = f(x) siendo esta una función contínua y no negativa como en la figura de arriba, acotada tambien por el eje x y lateralmente por las rectas x = a y x = b podemos aplicar:

Dividiendo el intervalo [a, b] en n subintervalos, cada uno de longitud ∆x = (b-a)/n sus puntos terminales son:


Al ser f(x) contínua, el teorema de valores extremos asegura que exista un mínimo y un máximo de f(x) en cada sub intervalo. siendo:


Teniendo las 2 siguientes sumas:



de como lo vimos anteriormente, la suma por defecto es inferior a la suma por exceso, por lo que nuestra área real debajo de la función debe estar comprendida entre ambos valores de las sumas por defecto y por exceso.

Y si adicional a esto, hacemos que n (n = numero de particiones del segmento [a,b]) sea cada vez mayor, tendremos un área más aproximada, de lo cual podemos deducir que si hacemos que n tienda a infinito, entonces tendremos que:

Sea f continua y no negativa en el intervalo [a,b]. el área de la región limitada por la graica de f, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b es:



siendo ∆x = (b-a)/n


Continúa en integral definida