martes, 25 de mayo de 2010

Área de una región plana

continuando con este razonamiento, revisemos el siguiente problema de cálculo integral:


Supongamos la gráfica de


Limitada por el eje x, entre x=0 y x=2.

Cuya gráfica corresponde a:




Vamos a utilizar el método del exhaución (arquímedes) para calcular el área comprendida entre la gráfica de f(x) y las rectas x=0 y x=5

Utilizaremos 5 rectángulos para aproximar el área de la región que corresponde a la imagen superior.

Primero utilizaremos rectángulos que aproximarán el área por defecto.

La base de cada rectángulo dibujado es 2/5 (puesto que hemos dividido 2 unidades en cinco partes iguales).

Los puntos terminales de la derecha en cada intervalo los podemos expresar como (2i / 5) , siendo i=1,2,3,4,5

La altura puede obtenerse evaluando f en el punto terminal derecho de cada intervalo

De manera más exacta, podemos expresar la suma de las áreas de los cinco rectángulos como:



Aquí vemos que la aproximación por defecto al área buscada utilizando los cinco rectángulos es 6.48 unidades cuadradas


Procedamos ahora a aproximar el área por exceso:




La base de cada rectángulo dibujado vuelve a ser 2/5 (puesto que hemos dividido 2 unidades en cinco partes iguales).

Ahora la altura de cada rectángulo viene dada por el valor de la función en cada punto terminal de la izquierda. siendo (2(i-1) / 5) , siendo i=1,2,3,4,5

El Área del i-ésimo rectángulo= 2/5 . f(2(i-1)/5)

La suma de todos los rectángulos vendrá dada por el sumatorio siguiente expresado en notación sigma:



Aquí vemos que la aproximación por exceso al área buscada utilizando los cinco rectángulos es 8.08 unidades cuadradas.

Podemos concluir que el Área de la región objeto de estudio está comprendida entre las dos medidas encontradas:

6.48 < Área de la región plana < 8.08

Si quisiéramos afinar la medición lo que tendremos que hacer será aumentar el nº de rectángulos, por ejemplo si utilizamos 25 rectángulos para aproximar la medición, tendríamos:

Área por defecto = 7.1712

Área por exceso = 7.4912

7.1712 < Área de la región plana < 7.4912

Continua en Cálculo del Área como límite

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